Obter o tipo de postagem que uma taxonomia está vinculada

Se observarmos a variável global $wp_taxonomies , vemos os tipos de objeto associados.

Pode haver maneiras melhores de fazer isso ou mesmo funções básicas, mas você pode tentar o seguinte:

function wpse_172645_get_post_types_by_taxonomy( $tax = 'category' )
{
    global $wp_taxonomies;
    return ( isset( $wp_taxonomies[$tax] ) ) ? $wp_taxonomies[$tax]->object_type : array();
}

depois, para a configuração padrão que você recebe:

$out = wpse_172645_get_post_types_by_taxonomy( 'category' );
print_r( $out );

com a saída:

Array
(
    [0] => post
)

Você pode fazer o inverso com get_object_taxonomies . Combine-o com get_post_types para iterar os tipos de postagem para verificar as taxonomias registradas para cada um.

EDIT - Aqui está um exemplo que produz a mesma saída que a função do @ birgire, sem usar globals sujos.

function wpse_172645_get_post_types_by_taxonomy( $tax = 'category' ){
    $out = array();
    $post_types = get_post_types();
    foreach( $post_types as $post_type ){
        $taxonomies = get_object_taxonomies( $post_type );
        if( in_array( $tax, $taxonomies ) ){
            $out[] = $post_type;
        }
    }
    return $out;
}

Não é necessário usar a variável global $wp_taxonomies diretamente, pois o WordPress tem o get_taxonomy() função para acessar taxonomias nele (no núcleo desde a versão 2.3.0). Desde o WordPress 4.7.0, o tipo de retorno é um objeto WP_Taxonomy com a propriedade $object_type

$taxonomy = get_taxonomy( 'category' );
print_r( $taxonomy->object_type );