wp_register_sidebar_widget() é parte da API de widgets old . Os widgets da barra lateral costumavam ser construídos de forma processual ... de forma não reutilizável (ou seja, você poderia ter apenas um de cada).
register_widget() foi introduzido com o novo API de Widgets e usa um objeto / classe como uma entrada em vez de parâmetros de widget reais. O WordPress pode instanciar quantas cópias deste widget você precisar, permitindo que você tenha várias instâncias do mesmo widget.
Você deve usar classes de widgets individuais e register_widget() , mesmo que seu widget não tenha um formulário de entrada.