Como listar apenas os termos filhos de uma taxonomia e não seus pais?

Isso deve funcionar para você:

$taxonomyName = "age";
//This gets top layer terms only.  This is done by setting parent to 0.  
$parent_terms = get_terms( $taxonomyName, array( 'parent' => 0, 'orderby' => 'slug', 'hide_empty' => false ) );   
echo '<ul>';
foreach ( $parent_terms as $pterm ) {
    //Get the Child terms
    $terms = get_terms( $taxonomyName, array( 'parent' => $pterm->term_id, 'orderby' => 'slug', 'hide_empty' => false ) );
    foreach ( $terms as $term ) {
        echo '<li><a href="' . get_term_link( $term ) . '">' . $term->name . '</a></li>';   
    }
}
echo '</ul>';

Você também pode fazer:

$terms = get_terms($taxonomyName);
foreach($terms as $term) {
    if ($term->parent != 0) { // avoid parent categories
        //your instructions here
    }
}

Eu observei que o pai tem um campo "pai" igual a 0 e um filho tem seu ID pai nele.

Podemos excluir os pais de nível superior filtrando-os usando o filtro terms_clauses para alterar a consulta SQL antes de ser executada. Dessa forma, não precisamos pular os pais no loop foreach final, pois eles não estão na matriz de termos retornada, isso nos poupa trabalho e codificação desnecessários

Você pode tentar o seguinte:

add_filter( 'terms_clauses', function (  $pieces, $taxonomies, $args )
{
    // Check if our custom arguments is set and set to 1, if not bail
    if (    !isset( $args['wpse_exclude_top'] ) 
         || 1 !== $args['wpse_exclude_top']
    )
        return $pieces;

    // Everything checks out, lets remove parents
    $pieces['where'] .= ' AND tt.parent > 0';

    return $pieces;
}, 10, 3 );

Para excluir pais de nível superior, agora podemos passar 'wpse_exclude_top' => 1 com nossa matriz de argumentos. O novo parâmetro wpse_exclude_top é suportado pelo filtro acima

$terms = get_terms( 'category', ['wpse_exclude_top' => 1] );
if (    $terms
     && !is_wp_error( $terms )
) {
    echo '<ul>';
        foreach ($terms as $term) {
            echo '<li><a href="' . get_term_link( $term ) . '">' . $term->name . '</a></li>';  
        }
    echo '</ul>';
}

Apenas uma observação, get_term_link() não aceite o nome do termo, somente, slug, ID ou o termo completo objeto. Para performance, sempre sempre passe o termo objeto para get_term_link() se o termo objeto estiver disponível ( como neste caso )

Por que você não pode simplesmente definir o argumento childless como verdadeiro?

$ages = get_terms( array(
    'taxonomy' => 'age',
    'childless' => true
    )
);

Se você exibir vários filhos de pais, tente isso. Exibir termo filho de IDs de termo de menção.

$termIds = array(367, 366, 365, 364, 363, 362);
$taxonomyName = "age";

$args = array(
    'orderby'           => 'term_id', 
    'order'             => 'DESC',                      
    'hide_empty'        => false,                       
    'childless'         => false,
); 

$terms = get_terms( $taxonomyName, $args );

if ( ! empty( $terms ) && ! is_wp_error( $terms ) ){
$inc = 1;
foreach ( $terms as $term ) {                           
 if (in_array($term->parent, $termIds)) {
  echo '<option value="'.$term->term_id.'"><font><font>'.$term->name.'</font></font></option>';
    }
  }
}