Brian está correto. Ao alterar o formulário para usar get em vez de post e, em seguida, usando $ _REQUEST para buscar deve funcionar, e é para mim.
// Fetch, prepare, sort, and filter our data.
if( isset( $_REQUEST ["s"] ) ){
// Form that displays the table and also contains the search_box()
<form id="table-class-filter" method="get" class="table-class-admin-form">