Como adicionar campo para a nova opção de todo o site na tela Configurações de Rede?

Há uma ação wpmu_options que permite adicionar mais HTML na página "Configurações de rede".

Se você quiser adicionar seu próprio submenu / página ao menu principal "Configurações":

add_action('network_admin_menu', 'add_my_netw_settings_page');
function add_my_netw_settings_page() {
  add_submenu_page(
       'settings.php',
       'Co za asy',
       'Co za asy',
       'manage_network_options',
       'my-netw-settings',
       'your_form'
  );    
}

function your_form(){
  $options = get_site_option('your_plugin');

  ?>
  <form action="<?php echo admin_url('admin-post.php?action=update_my_settings'); ?>" method="post">
    <?php wp_nonce_field('your_plugin_nonce'); ?>

    ...fields go here...

  </form>
  <?php
}

o manipulador de salvamento:

add_action('admin_post_update_my_settings',  'update_my_settings');
function update_my_settings(){     
  check_admin_referer('your_plugin_nonce');
  if(!current_user_can('manage_network_options')) wp_die('FU');

  // process your fields from $_POST here and update_site_option

  wp_redirect(admin_url('network/settings.php?page=my-netw-settings'));
  exit;  
}

Mantenha o manipulador de salvamento, se você optar por usar essa ação que mencionei acima, e conecte o formulário a essa ação.

Basicamente, se você não quiser criar sua própria página de configurações de administrador de rede, precisará usar os dois ganchos mencionados separadamente nas outras duas respostas:

add_filter( 'wpmu_options' , 'show_network_settings' );
add_action( 'update_wpmu_options', 'save_network_settings' );

function save_network_settings() {
  // checkbox example
  if( isset( $_POST['my_network_checkbox'] ) )
    update_site_option( 'my_network_checkbox', '1' );

  // textfield example
  if( isset( $_POST['my_network_textfield'] ) )
    update_site_option( 'my_network_textfield', sanitize_text_field($_POST['my_network_textfield']) );
}

function show_network_settings() {
    $checkbox = get_site_option('my_checkbox'); 
    $text = get_site_option('my_text'); 
    ?>
    <h3><?php _e('My Network Settings','my-plugin'); ?></h3>
    <table class="form-table">
        <tbody>
            <tr>
                <th scope="row"><?php _e('My Checkbox','my-plugin'); ?></th>
                <td>
                    <label>
                        <input type='checkbox' name='my_checkbox' value='1' <?php checked( $checkbox, '1' ); ?> /> 
                    <?php _e('Check my box.','my-plugin'); ?>
                    </label>
                </td>
            </tr>
            <tr>
                <th scope="row"><label for="my_text"><?php _e('My Text','my-plugin'); ?></label></th>
                <td>
                        <input type='text' name='my_text' value='<?php echo $text; ?>' />
                </td>
            </tr>
        </tbody>
    </table>
    <?php
}

Para uma explicação muito clara e uma amostra de código útil, consulte enlace

Eu tenho medo de que o único método que conheço seja o método que você mencionou de injetar manualmente o html e lidar com as atualizações das opções você mesmo. A ação que você precisa usar para salvar suas opções é update_wpmu_options. Se necessário, posso fornecer um exemplo mais detalhado, apenas me avise.