Você pode alterar qualquer um dos parâmetros de consulta (como o pedido), adicionando-os ao URL.
Por exemplo, o URL de exemplo abaixo aleatoriamente as postagens no arquivo da categoria toda vez que você atualizar, randomizando os resultados.
http://sample.com/category/uncategorized/?orderby=rand
Abaixo está um formulário básico com o valor orderby que atualizaria qualquer página / modelo que ele mostrasse. (você só precisa adicioná-lo ao arquivo.php no seu tema, ou à barra lateral via um widget HTML)
<form method="get">
<input type="hidden" name="orderby" value="rand" />
<input type="submit" value="Randomize" />
</form>
Você precisaria apenas calcular o ajax para atualizar o elemento HTML que contém o loop. (o cara acabou neste post está fazendo um ajax comment refresher, você pode ver como ele está recarregando o loop via ajax